Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角；
（2）求三棱锥C-B₁D₁F的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与BC所成的角．
（2）先求出，再由向量法求出点F到平面D₁B₁C的距离，由此能求出三棱锥C-B₁D₁F的体积．
解答：解：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
∴=（1，1，-1），=（-2，0，0），
设异面直线EF与BC所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|=||=，
∴异面直线EF与BC所成的角为arccos．
（2）∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴===2，
∵B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），C（0，2，0），F（1，1，0），
∴，=（0，2，-2），，
设平面D₁B₁C的法向量=（x，y，z），则，，
∴，解得=（1，-1，0），
∴点F到平面D₁B₁C的距离d===，
∴三棱锥C-B₁D₁F的体积V===．
点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．