Question

如图，设四棱锥S-ACDE的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=

2

．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设P为SD的中点，求三棱锥P-SAC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，证明SE⊥面ABCD，即可证明平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）利用转换底面的方法，即可求三棱锥P-SAC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，
∵SA=SB=

2

，∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱锥S-ACDE的底面为菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CE=

3

，
又SC=2，∴SC²=CE²+SE²，
∴SE⊥EC，∴SE⊥面ABCD，
∵SE?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：V_P-SAC=V_S-PAC=V_S-DAC-V_P-DAC=

1

2

VS-DAC=

1

2

•

1

3

•

3

4

•22•1=

3

6

．

点评：本题在四棱锥中证明面面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了平面与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．