Question

19．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=6，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（1）求证：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁；
（2）求几何体AA₁EBC的体积．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AC₁交A₁C于点O，连接OE，OF，可得OE⊥AC．OE⊥AA₁．即OE⊥平面ACC₁A₁，于是平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．
（2）几何体AA₁EBC是四棱锥C-AA₁EB，高为$h=4sin60°=2\sqrt{3}$，底面为直角梯形，面积为$S=\frac{1}{2}（3+6）×4=18$，利用体积公式求解．

解答 解：（1）如图，连接AC₁交A₁C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁为平行四边形，所以OA=OC₁．
又因为F为AC中点，所以OF∥CC₁且$OF=\frac{1}{2}C{C_1}$．
因为E为BB₁中点，所以BE∥CC₁且$BE=\frac{1}{2}C{C_1}$．
所以BE∥OF且BE=OF，
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE．
因为AB=CB，F为AC中点，所以BF⊥AC，所以可得OE⊥AC．
因为AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BF，所以可得OE⊥AA₁．
又AA₁，AC?平面ACC₁A₁，且AA₁∩AC=A，所以OE⊥平面ACC₁A₁．
因为OE?平面A₁EC，所以平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

（2）几何体AA₁EBC是四棱锥C-AA₁EB，高为$h=4sin60°=2\sqrt{3}$，底面为直角梯形，面积为$S=\frac{1}{2}（3+6）×4=18$，
得${V_{{A_1}-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×18=12\sqrt{3}$，
故几何体AA₁EBC的体积为${V_{A{A_1}EBC}}=\frac{1}{2}×4×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×6-12\sqrt{3}$=$12\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，几何体的体积，属于中档题．