题目内容

设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）= $数学公式$ 是奇函数．
（1）求b的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

解（1）f（x）=lg $\text{[math]}$ （-b＜x＜b）是奇函数等价于：
对任意x∈（-b，b）都有 $\text{[math]}$
①式即为 $\text{[math]}$ ，由此可得 $\text{[math]}$ ，
也即a²x²=4x²，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于a²=4，
因为a≠2，所以a=-2，
代入②式，得 $\text{[math]}$ ＞0，即- $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ ，
此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于
- $\text{[math]}$ ≤-b＜b≤ $\text{[math]}$ ，
所以b的取值范围是（0， $\text{[math]}$ ]．
（2）设任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，
由b∈（0， $\text{[math]}$ ]，得- $\text{[math]}$ ≤-b＜x₁＜x₂＜b≤ $\text{[math]}$ ，
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
因此f（x）在（-b，b）内是减函数．
分析：（1）由函数f（x）在区间（-b，b）是奇函数，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系数法求得a；同时函数要有意义，即 $\text{[math]}$ ，x∈（-b，b）上恒成立，可解得结果．
（2）选用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．
点评：本题主要考查函数的奇偶性，要注意定义域优先考虑原则，还考查了用定义法证明函数的单调性，要注意作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系．