Question

设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(-b，b)内的函数f(x)=lg

1+ax

1+2x

是奇函数，则a+b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意和奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．

解答：解：∵定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数，
∴任x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

，
∴lg

1-ax

1-2x

=lg

1+2x

1+ax

，则有

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，
即1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，
又∵a≠2，∴a=-2；则函数f（x）=lg

1-2x

1+2x

，
要使函数有意义，则

1-2x

1+2x

＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0
解得：-

1

2

＜x＜

1

2

，即函数f（x）的定义域为：（-

1

2

，

1

2

），
∴（-b，b）⊆（-

1

2

，

1

2

），∴0＜b≤

1

2

∴-2＜a+b≤-

3

2

，即所求的范围是(-2，-

3

2

]；
故答案为：(-2，-

3

2

]．

点评：本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．