Question

如图所示，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，
OP⊥底面ABC.
（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；
（2）当k取何值时，二面角O—PC—B的大小为？

Answer 1

(1) 异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为. (2)k=时,二面角O—PC—B的大小为

 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O—xyz.
（1）设AB=a，则PA=a，PO=a，
A（a，0，0），B（0，a，0），
C（-a，0，0），P（0，0，a），
则D（-a，0，a）.
∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，
∴cos〈,〉===-,
则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.
（2）设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，
∴=(0，a，0)为平面POC的一个法向量.
不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），
∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，
∴=(-a,- a,0),="(-" a,0,-h),
由
不妨令x=1，则y=-1，z=-，
即n="(1,-1,-" ),则cos=
==2+=4h=a,
∴PA===a,
而AB=kPA,∴k=.
故当k=时,二面角O—PC—B的大小为.