Question

设椭圆C：（a＞b＞0）过点P（1，），且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F的动直线交椭圆于点A、B，设椭圆的左顶点为C连接CA、CB且交直线l：x=m于M、N，若以MN为直径的圆恒过右焦点F，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆C：（a＞b＞0）过点P（1，），且离心率e=，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出=（m-，）=（m-，），结合以MN为直径的圆恒过右焦点F，可得方程，即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：（a＞b＞0）过点P（1，），且离心率e=
∴
∴a²=4，b²=3
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
k存在时，设直线AB：，代入椭圆方程可得（2k²+1）x²-x+4k²-4=0
∴，
∵CA：，∴M（m，）
∴=（m-，）
同理，=（m-，）
∵以MN为直径的圆恒过右焦点F，
∴（m-）²-（m+2）²•=0
∴
当k不存在时，△MNF为等腰直角△，∴M（m，），A（，1）
由C、B、M三点共线得到
综上，．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．