Question

已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．

(1)求圆C的方程；

(2)若＝－2，求实数k的值；

(3)过点(0,1)作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

解：(1)设圆心C(a，a)，半径为r.

因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，

所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2.

所以圆C的方程是x²＋y²＝4.

(2)因为＝2×2×cos＝－2，且与的夹角为∠POQ，

所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，

所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，

又d＝，所以k＝0.

(3)设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S.

因为直线l，l₁都经过点(0,1)，且l⊥l₁，

根据勾股定理，有d＋d²＝1.

又易知|PQ|＝2×，|MN|＝2×，

所以S＝·|PQ|·|MN|，

当且仅当d₁＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.