Question

（本小题满分12分）
设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d₁和d₂，
∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d₁d₂ sin²θ＝λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两
点,试确定λ的范围,使·＝0,其中点
O为坐标原点．

Answer 1

（1）动点P的轨迹C为双曲线，方程为：
（2）．由①②知

解法一：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．
方程为：．
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．
即，因为，所以．
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，
由题意知：，
所以，．
于是：．
因为，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）设，，的中点为．
①当时，，
因为，所以；
②当时，．
又．所以；
由得，由第二定义得
．
所以．
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知．