Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；

（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据题意得，利用导数，分类讨论求得函数的单调性，即可求解函数的最小值；

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，分别求得，利用斜率相等，转化为方程有解，设函数，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解。

（1）由题意，可得，

，

令，得.

①当时，在上单调递减，

∴.

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

∴.

综上，当时，，当时，.

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，

则，∴，

∴，代入

得.

∴问题转化为：关于的方程有解，

设，则函数有零点，

∵，当时，，∴.

∴问题转化为：的最小值小于或等于0.

，

设，则

当时，，当时，.

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为.

由知，故.

设，

则，故在上单调递增，

∵，∴当时，，

∴的最小值等价于.

又∵函数在上单调递增，∴.