Question

16．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁、x₂∈（0，+∞）都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

分析 （1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），结合x∈（0，1）时，f（x）＜0．及增函数的定义可证得结论；
（2）令x₁=x₂=4，可得f（16）=2，x₁=4，x₂=16，可得f（64）=3，结合f（x）的定义域为（0，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），及（2）中函数的单调性，可将不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3转化为一个关于x的不等式组．本题考查的知识点是抽象函数及其应用．

解答 （1）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（6分）
（2）解：令x₁=x₂=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x₁=4，x₂=16，则f（64）=f（4）+f（16）=3，（8分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
结合f（x）的定义域为（0，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{2x-6＞0}\\{（3x+1）（2x-6）≤64}\end{array}\right.$
∴x∈（3，5]（12分）

点评 本题考查的是抽象函数及其应用，函数的单调性证明，以及赋值法的应用，属于中档题，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及赋值法等知识．值得同学们体会和反思．