Question

9．已知四棱锥P-ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为$\frac{64}{3}π$．

Answer 1

分析 设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，设O到平面ABCD的距离为d，则R²=d²+（$\sqrt{5}$）²=2²+（$\sqrt{3}$-d）²，求出R，即可求出四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=$\sqrt{3}$，
设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，
设O到平面ABCD的距离为d，则R²=d²+（$\sqrt{5}$）²=2²+（$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，R²=$\frac{16}{3}$，
球O的表面积为s=$4π{R}^{2}=\frac{64}{3}π$．
故答案为：$\frac{64}{3}π$．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．