Question

4．已知函数f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）cosx+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，
（Ⅱ）当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin（x-\frac{π}{6}）cosx+1=（sinxcos\frac{π}{6}-cosxsin\frac{π}{6}）cosx+1$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x+1=\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x-\frac{1}{4}cos2x+\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}（cos\frac{π}{6}sin2x-sin\frac{π}{6}cos2x）+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{3}{4}$，
∴函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{3}{4}$，
∵$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[0，\frac{5π}{6}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[0，1]$，
故当$x=\frac{π}{3}$时，函数f（x）的最大值为$\frac{5}{4}$．
当$x=\frac{π}{12}$时，函数f（x）的最小值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题