Question

（2009•海淀区二模）如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D、E分别是BC、A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：BE∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）若AB=BC=AA₁=1，∠ABC=90°．
求二面角B₁-BC₁-E的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取A₁C₁的中点F，连接EF，DF，根据中位线定理可知EF∥B₁C₁且EF=

1

2

B1C1，而EF∥BD，且EF=BD，则四边形EFDB是平行四边形，从而BE∥DF，DF?平面A₁DC₁，BE?平面A₁DC₁，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得BE∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）连接B₁C交BC₁于O点，连接EO，EB₁⊥B₁C₁，BB₁⊥EB₁，B₁C₁∩BB₁=B₁，根据线面垂直的判定定理可知EB₁⊥平面BC₁B₁，根据二面角平面角的定义可知∠EOB₁是二面角B₁-BC₁-E的平面角，在直角△EOB₁中，求出此角的正切值即为所求．

解答：（Ⅰ）证明：取A₁C₁的中点F，连接EF，DF，…（1分）
∵E是A₁B₁的中点，∴EF∥B₁C₁且EF=

1

2

B1C1
又∵四边形BCB₁C₁是矩形，D是BC的中点，∴EF∥BD，且EF=BD
∴四边形EFDB是平行四边形，∴BE∥DF…（4分）
∵DF?平面A₁DC₁，BE?平面A₁DC₁
∴BE∥平面A₁DC₁…（6分）
（Ⅱ）解：连接B₁C交BC₁于O点，连接EO…（7分）
∵∠ABC=90°，
∴∠A₁B₁C₁=90⁰，即 EB₁⊥B₁C₁．
又∵BB₁⊥EB₁，B₁C₁∩BB₁=B₁，∴EB₁⊥平面BC₁B₁，…（9分）
∵BC=AA₁=1，∴BC=BB₁=1，且四边形BCB₁C₁是正方形，
∴B₁O⊥BC₁，…（10分）
∵EB₁⊥平面B₁C₁B，∴B₁O为EO在平面BCB₁上的射影，
∵B₁O⊥BC₁∴EO⊥BC₁，∴∠EOB₁是二面角B₁-BC₁-E的平面角…（11分）
在直角△EOB₁中，EB1=

1

2

，B1O=

2

2

，
∴tanEOB1=

2

2

，…（13分）
∴二面角B₁-BC₁-E的正切值

2

2

．…（14分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及二面角平面角的度量，同时考查了推理能力和计算能力，解决该题的关键是寻找二面角的平面角．