Question

已知函数f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-2

3

sin（π+x）cosx
（1）求y=f（x）的最小正周期，并说明由函数y=sinx的图象经过怎样的平移伸缩变换可得到函数y=f（x）的图象？
（2）若0≤x≤

π

2

，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得2sin（2x-

π

6

）+1，再结合正弦函数周期公式可得周期T=π，再由三角函数图象变换的公式，可得函数f（x）图象由y=sinx的图象经过平移和伸缩变换的过程；
（2）根据题意，得到-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，再结合正弦函数图象在区间[-

π

6

，

5π

6

]上的单调性，即可得到f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值．

解答：解：（1）∵cos（

π

2

-x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，
∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x-

π

6

）+1，…（2分）
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，…（3分）
该函数f（x）图象是由y=sinx的图象先右移

π

6

个单位，然后纵坐标不变横坐标变为原来的

1

2

，
然后横坐标不变纵坐标变为原来的2倍，最后上平移移1个单位而得．…（6分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，可得0≤2sin（2x-

π

6

）+1≤3…（9分）
∴函数y=f（x）的值域是[0，3]…（12分）

点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的值域，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．