Question

14．已知函数f（x）=e^-|x|+cosπx，给出下列命题：
①f（x）的最大值为2；
②f（x）在（-10，10）内的零点之和为0；
③f（x）的任何一个极大值都大于1．
其中，所有正确命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）=e^-|x|+cosπx，分析函数的最值，对称性，极值，进而可得答案．

解答 解：由$\lim_{x→±∞}{e}^{-\left|x\right|}$→0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故①正确；
函数f（x）=e^-|x|+cosπx，满足f（-x）=f（x），
故函数为偶函数；
其零点关于原点对称，故f（x）在（-10，10）内的零点之和为0，故②正确；
当cosπx取极大值1时，函数f（x）=e^-|x|+cosπx取极大值，但均大于1，故③正确；
故答案为：①②③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．