Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x-y+3=0与圆O：x²+y²=r²（r＞0）相交于A，B两点．若

OA

+2

OB

=

3

OC

，且点C也在圆O上，则圆O的方程为

 

．

Answer 1

分析：联立直线与圆的方程即可得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式，即可得出点C的坐标满足的关系式，代入圆的方程又得出点A，B的坐标的关系式，联立即可解出．

解答：解：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x-y+3=0 x2+y2=r2

，消去y得到关于x的一元二次方程2x²+6x+9-r²=0，
∵直线l与圆O相较于A、B两点，则△=36-8（9-r²）＞0．（*）
∴x₁+x₂=-3，x1x2=

9-r2

2

．
设点C（x₀，y₀）．
∵

OA

+2

OB

=

3

OC

，∴(x1，y1)+2(x2，y2)=

3

(x0，y0)，
又∵y₁=x₁+3，y₂=x₂+3．
∴可得：

x0= x1+2x2 3 y0= x1+2x2+9 3

，
代入圆O的方程得(

x1+2x2

3

)2+(

x1+2x2+9

3

)2=r2，
化为(x1+2x2)2+(x1+2x2+9)2=3r2，
联立

(x1+2x2)2+(x1+2x2+9)2=3r2 x1+x2=-3 x1x2= 9-r2 2

，消去x₁，x₂化为r²=18，满足（*）．
因此所求的圆O的方程为x²+y²=18．

点评：熟练掌握直线与圆相交问题变得解题模式、根与系数的关系、向量相等、方程对的思想方法是解题的关键．