题目内容
11．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率．
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率．
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．
（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．
分析 （Ⅰ）从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出取出的两个球编号之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出取出的两个球编号之和为6的概率．
（Ⅱ）从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p=$\frac{1}{3}$，由此能求出3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率．
（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X，则X的可能取值为1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
解答 解：（Ⅰ）∵一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，
基本事件总数n=6×6=36，
取出的两个球编号之和为6包含的基本事件有：
（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个，
∴取出的两个球编号之和为6的概率p=$\frac{5}{36}$．
（Ⅱ）从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，
每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为p=${C}_{3}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}×（\frac{2}{3}）=\frac{2}{9}$．
（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=6）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴随机变量X的分布列为：
| X | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | $\frac{1}{20}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{2}$ |
则X的可能取值为1，2，3，4，5，6，
P（X=1）=（$\frac{1}{6}$）3=$\frac{1}{216}$，
P（X=2）=${C}_{7}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）3=$\frac{7}{216}$，
P（X=3）=${C}_{19}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）3=$\frac{19}{216}$，
P（X=4）=${C}_{37}^{1}×（\frac{1}{6}）^{3}$=$\frac{37}{216}$，
P（X=5）=${C}_{61}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）3=$\frac{61}{216}$，
P（X=6）=${C}_{91}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）3=$\frac{91}{216}$，
∴随机变量X的分布列为：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | $\frac{1}{216}$ | $\frac{7}{216}$ | $\frac{19}{216}$ | $\frac{37}{216}$ | $\frac{61}{216}$ | $\frac{91}{216}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量分布列的求法，考查古典概型、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |
| 年份2017+x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 人口总数y | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
（2）据此估计2022年该城市人口总数．
（附：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）
考数据：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，02+12+22+32+42=30．