题目内容

定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是
 
．
分析：先根据条件证明函数f（x）在（0，+∞）上单调性，然后化简不等式，根据
x2+y2
≥
2xy
恒成立建立关系式即可．
解答：解：设x1＞x2＞0，则
x1
x2
＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（
x
y
），
f（x1）-f（x2）=f（
x1
x2
）＜0（x＞1时，f（x）＜0）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∵f(
x2+y2
)≤f(
xy
)+f(a)
∴f（
x2+y2
）≤f（a
xy
）
即
x2+y2
≥a
xy

x2+y2
≥
2xy
≥a
xy

∴a≤
2

故答案为：0＜a≤
2
点评：本题主要考查抽象函数的单调性以及不等式的应用，属于中档题，单调性是函数的“局部”性质．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)记an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）
（2011•顺义区二模）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）
填空题
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，则sin2x的值为
1
9
1
9
．
（2）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）设向量
a
，
b
，
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，则|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．
（2013•湖州二模）定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

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