Question

在xOy平面上有一点p₁(a₁，b₁)，P₂(a₂，b₂)，…，P_n(a_n，b_n)，…，对每个自然数n，点P_n位于函数的图像上，且点P_n，点(n，0)与点(n+1，0)构成一个以P_n为顶点的等腰三角形。

（1）求点P_n的纵坐标P_n的表达式；

（2）若对每个自然数n，以bn，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

（3）设c_n=lg(b_n)(nÎN)，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{c_n}前多少项的和最大？试说明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）由题意，，∴ 。 （2）∵ 函数递减，∴ 对每个自然数n，有bn>bn+1>bn+2，则以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，即，解得或，∴ 。 （3）∵ ，∴ a=7，，于是 ，数列{cn}是一个递减的等差数列。因此，当且仅当cn³0，且cn+1<0时，数列{cn}的前n项的和最大。由，得n£20.8，∴ n=20。