Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=(3n+Sn)对一切正整数n成立

（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

（II）设，求数列的前n项和Bn；

Answer 1

【答案】解：（I）证明见解析，an=3()；(II) .

【解析】

（I）利用公式得出3+an的递推式，再利用定义证明，最后再求出数列的通项公式；（II）先求出数列的通项公式，然后根据通项公式特点选择错位相减法求出数列的前n项和.

解：（I）由已知得Sn=2an-3n，

Sn+1=2an+1-3(n+1),两式相减并整理得：an+1=2an+3

所以3+ an+1=2（3+an），又a1=S1=2a1-3，a1=3可知3+ a1=6，进而可知an+3

所以，故数列{3+an}是首项为6，公比为2的等比数列，

所以3+an=6,即an=3()

（II）

设（1）

（2）

由（2）-（1）得