Question

【题目】如图，点M，N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，BB1的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面D1MNC1将该八面体分割成上、下两部分的体积分别为V1、V2，则（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

如图，先作出平面截八面体的截面为，建立空间直角坐标系，用点到平面的距离为向量在法向量上的投影的长，再计算两部分的体积，得到体积之比,得到答案.

正方体的六个面的中心为顶点构成的八面体中中间和上方的顶点分别为

如图，分别过作侧棱的平行线,
分别 交于点，分别交于点,得到矩形.

由题意有为的中点，为的中点.

在矩形中,分别交于点，则分别为的中点,

平面,所以，平面.

将平面延展与交于点. 所以平面截八面体的截面为.

显然与相交于的中点,设为.则三点共线.

在中,过作，如图，可得为的一个三等分点.

设正方体的棱长为2，则.

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系

P（-1，0，0），R（1，0，0），Q（0，-1，0），

设平面的法向量为.

则，即 ，取 则

则点到平面的距离为向量在法向量上的投影的长.

所以

又

所以八面体在平面平面下方的部分的体积为

所以

故选：A