Question

3．若X是一个集合，т是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于т，∅属于т；②т中任意多个元素的并集属于т；③т中任意多个元素的交集属于т．则称т是集合X上的一个拓扑．已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不大于x的最大整数，当x∈（0，n]，n∈N^*时，函数f（x）值域为集合A_n，则集合A₂上的含有4个元素的拓扑т的个数为9．

Answer 1

分析 根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，判断n的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合A₂上的含有4个元素的拓扑т的个数．

解答 解：函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不大于x的最大整数，当x∈（0，n]，n∈N^*时，函数f（x）值域为集合A_n，依题意，n=2，故0＜x≤2，
①当0＜x＜1时，则[x]=0，∴f[x[x]]=0，
②当x=1时，[x]=1显然f（1）=1，
③当1＜x＜2时，[x]=1，∴f[x[x]]=[x]=1，
④当x=2时，f（2）=4，
∴A₂={0，1，4}，
∵т中含有4个元素，其中两个元素∅和A₂，
∴A₂={0，1，4}．其它两个元素为A，B，则$\left\{\begin{array}{l}A≠∅\\ A≠{A}_{2}\\ B≠∅\\ B≠{A}_{2}\\ A≠B\end{array}\right.$
由对称性，不妨设1≤|A|≤|B|≤2，其中|A|、|B|表示集合A中元素的个数，
∵$\left\{\begin{array}{l}A∩B∈т\\ A∪B∈т\end{array}\right.$，又|A|≤|B|，∴A∩B=∅或A，
若A∩B=∅，则A∪B只能等于A₂，（若A∪B=B，则A⊆B，则A∩B=A=∅，矛盾）
则必有$\left\{\begin{array}{l}\left|A\right|=1\\ \left|B\right|=2\end{array}\right.$，∴（A，B）的个数?A的个数=3种．即$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{0\right\}\\ B=\{1，4\}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{1\right\}\\ B=\{0，4\}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{4\right\}\\ B=\{0，1\}\end{array}\right.$
若A∩B=A?A⊆B此时满足A∪B=B，∵A≠B且1≤|A|且|B|≤2，∴$\left\{\begin{array}{l}\left|A\right|=1\\ \left|B\right|=2\end{array}\right.$，
∴B的选择共有${C}_{3}^{2}$=3种，则A的个数有${C}_{2}^{1}$种，
∴（A，B）的个数=2×3=6种．（这6种是$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{0\right\}\\ B=\{0，1\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{1\right\}\\ B=\{0，1\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{0\right\}\\ B=\{0，4\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{4\right\}\\ B=\{0，4\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{1\right\}\\ B=\{1，4\}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}A=\left\{4\right\}\\ B=\{1，4\}\end{array}\right.$．
综上可知т的个数为9个．
故答案为：9．

点评 本题考查集合的关系，元素个数的判断，考查推理与证明，注意拓扑知识的应用，难度比较大．