Question

5．已知函数f（x）=lg（3-4x+x²）的定义域为M．
（1）求f（x）的单调区间及值域；
（2）当x∈M时，关于x的方程1og₂（3-x）-1og₂（1+x）=b（b∈R）有实数根，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，3-4x+x²＞0从而解出M={x|x＞3或x＜1}，根据函数的单调性求出f（x）的单调区间和值域即可；
（2）令h（x）=1og₂（3-x）-1og₂（1+x），求出h（x）的定义域，从而求出h（x）的值域，得到b的范围即可．

解答 解：由题意，3-4x+x²＞0，
解得，x＞3或x＜1，
即M={x|x＞3或x＜1}，
（1）令g（x）=x²-4x+3，（x＞3或x＜1），对称轴x=2，
∴g（x）在（-∞，1）递减，在（3，+∞）递增，
根据复合函数同增异减的原则，
f（x）在（-∞，1）递减，在（3，+∞）递增，
x→∞时，f（x）→+∞，
∴f（x）的值域是R；
（2）令h（x）=1og₂（3-x）-1og₂（1+x），
由$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{1+x＞0}\\{x＞3或x＜1}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
∴h（x）=${log}_{2}^{\frac{3-x}{1+x}}$，（-1＜x＜1），
令z=$\frac{3-x}{1+x}$=-1+$\frac{4}{x+1}$，
∴z∈（1，+∞），
∴h（x）＞${log}_{2}^{z}$＞${log}_{2}^{1}$=0，
∴b＞0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的定义域、值域问题，是一道中档题．