Question

10．设函数f（x）=x²e^x
（1）若函数h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$-m在（0，+∞）上存在零点，求m的最小值．
（2）若f（x）＜ax与f（x）＜a²对x∈（-∞，0）恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出g（x）的最小值，从而求出m的最小值即可；
（2）求出f（x）的单调性，画出函数图象结合图象，求出a的范围即可．

解答 解：（1）令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（1）=e，
∴若函数h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$-m在（0，+∞）上存在零点，
只需m≥g（x）_min=g（1）=e，
∴m的最小值是e；
（2）令f′（x）=2xe^x+x²e^x=e^x（x²+2x）=0，得x=-2，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2，令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，0）递减，
∴当x=-2时，函数有极大值即最大值，且f（-2）=4e^-2，
画出函数图象，如图示：
，
若f（x）＜ax与f（x）＜a²对x∈（-∞，0）恰有一个恒成立，
显然f（x）≥ax且f（x）＜a²恒成立，由a²＞4e^-2，解得a＞$\frac{2}{e}$或a＜-$\frac{2}{e}$（舍），
故a＞$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．