Question

【题目】如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体.

（1）求证：平面；

（2）若，且与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）证明平面内的相交直线，即可证明线面垂直；

（2）根据与平面所成角的正切值为，设，求出的值，如图所示，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夹角公式，即可得答案.

（1）因为平面平面，平面平面，

又，所以平面.

因为平面，所以.

又因为折叠前后均有，，

所以平面.

（2）由（1）知平面，所以与平面所成角为

且.依题意.

因为，所以.

设，则.

依题意，所以，即.

解得，故，，.

如图所示，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，.

由（1）知平面的法向量

设平面的法向量

由得，

令，得，，所以.

所以.

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.