Question

17．已知函数f（x）=|xe^x|，且方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四个实数根，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{2e}$）
• B． （-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，-2）
• C． （-2，0）
• D． （$\frac{{e}^{2}+1}{2e}，+∞$）

Answer 1

分析 函数f（x）=|xe^x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值$\frac{1}{e}$，所以，要使方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，$\frac{1}{e}$）内，一个在（$\frac{1}{e}$，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
当x≥0时，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e^-1=$\frac{1}{e}$，
要使方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m²+2am+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，$\frac{1}{e}$）内，一个根在（ $\frac{1}{e}$，+∞）内，
再令g（m）=m²+2am+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（ $\frac{1}{e}$）＜0，即（$\frac{1}{e}$）²+$\frac{1}{e}$•2a+1＜0，
解得：a＜-$\frac{{e}^{2}+1}{2e}$．
所以，使得函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+2af（x）+1=0（a∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{2e}$）．
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．