Question

6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M、N分别是AB，CC₁、AA₁、C₁D₁的中点，求证：平面CEM∥平面BFN．

Answer 1

分析 设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CEM∥平面BFN．

解答 证明：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得C（0，2，0），E（2，1，0），M（2，0，1），
B（2，2，0），F（0，2，1），N（0，1，2），
$\overrightarrow{CE}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{CM}$=（2，-2，1），$\overrightarrow{FB}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{FN}$=（0，-1，1），
设平面CEM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，2），
设平面BFN的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FB}=2a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FN}=-b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，2），
∵$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{n}$，∴平面CEM∥平面BFN．

点评 本题考查平面与平面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．