Question

在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|

OP

|：|

PA

|=1：2，|

OQ

|：|

QB

|=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（Ⅰ）用

a

与

b

表示

OR

；
（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若|

a

|=1，|

b

|=2，

a

与

b

的夹角θ∈[

π

3

，

2π

3

]，求

| BH|

| BA|

的范围．

Answer 1

分析：（I）根据点P在边OA上且| OP |：| PA |=1：2，点Q在边OB上且| OQ |：| QB |=3：2，我们易将向量 OP 和 OQ 表示成 a ， b ．再根据AQR三点共线，BPR三点共线，我们可以分别得到两个 OR 关于 a ， b 的分解形式，利用平面向量的基本定理，易构造关于λ，μ的方程，进而可用 a 与 b 表示 OR ； （II）由| a |=1，| b |=2， a 与 b 的夹角θ∈[ π 3 ， 2π 3 ]，结合（I）的结论及RH⊥AB，我们易求出 | BH| | BA| 的取值范围．

解答：解：（I）由 OA = a ，点P在边OA上且| OP |：| PA |=1：2， 可得 OP = 1 2 （ a - OP ）， ∴ OP = 1 3 a ．同理可得 OQ = 3 5 b ．（2分） 设 AR =λ AQ ， BR =μ BP (λ，μ∈R)， 则 OR = OA + AR = OA +λ AQ = a +λ( 3 5 b - a ）=（1-λ） a + 3 5 λ b ， OR = OB + BR = OB +μ BP = b +μ( 1 3 a -b）= 1 3 μ a +（1-μ） b ．（4分） ∵向量 a 与 b 不共线， ∴ 1-λ= 1 3 μ 3 5 λ=1-μ 解得λ= 5 6 ，μ= 1 2 ∴ OR = 1 6 a + 1 2 b ．（5分） （II）设 | BH| | BA | =γ，则 BH =γ BA =γ（ a - b ）， ∴ RH = BH - BR = BH -( OR - OB )=γ（ a - b ）-（ 1 6 a + 1 2 b ）+ b =(γ- 1 6 ) a +（ 1 2 -γ) b ．（6分） ∵ RH ⊥ BA ， ∴ RH • BA =0， 即[(γ- 1 6 ) a +（ 1 2 -γ) b ]•（ a - b ）=0(γ- 1 6 ) a 2+（ 1 2 -γ) b 2+( 2 3 -2γ) a • b =0（8分） 又∵| a |=1，| b |=2， a • b =| a || b |cosθ=2cosθ， ∴(γ- 1 6 )+4(γ- 1 2 )+( 2 3 -2γ)(2cosθ)=0 ∴γ= 1 6 × 13-8cosθ 5-4cosθ = 1 6 ( 3 5-4cosθ +2)．（10分） ∵θ∈[ π 3 ， 2π 3 ]， ∴cosθ∈[- 1 2 ， 1 2 ]， ∴5-4cosθ∈[3，7]， ∴ 1 6 ( 3 7 +2)≤γ≤ 1 6 (