Question

14．已知集合A={x|x²-（a+3）x+a²=0}，B={x|x²-x=0}，是否存在实数a，使A，B同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B=B；③∅?（A∩B）？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 首先化简集合B={0，1}，然后对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使得集合A，B能同时满足下列三个条件，再利用A不可以为空集，那么A={0}或A={1}，求出a的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答 解：由已知B={0，1}，要同时满足①A≠B②A∪B=B③空集真包含于（A∩B）则A不可以为空集．
假设存在这样的实数a，那么A={0}或A={1}
①A={0}时，由韦达定理有0+0=a+3，0×0=a²，故a无解
②A={1}时，由韦达定理有1+1=a+3，1×1=a²，故a=-1满足．
综上：存在实数a=-1，使得集合A，B能同时满足三个条件．

点评 本题主要考查集合的交、并、补集的混合运算、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．