已知向量$\overrightarrow{a}$=.sin2x).b=.$\frac{\sqrt{3}}{2}$)．x∈[$\frac{π}{4}$.$\frac{π}{2}$]．设函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$．的单调递增区间:的最大值和最小值．并求此时对应的x的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos（$\frac{π}{2}$+x），sin2x），b=（sin（π+x），$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间：
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．并求此时对应的x的值．

分析（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值和最小值．并求此时对应的x的值．

解答解：（1）由函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$=cos（$\frac{π}{2}$+x）sin（π+x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=-sinx•（-sinx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）根据x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$时，f（x）取得最小值为$\frac{1}{2}$，此时，x=$\frac{π}{2}$；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为1，此时，x=$\frac{π}{3}$．

点评本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．