题目内容

椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ 分别是左、右焦点，过F₁的直线与圆（x+c）²+（y+2）²=1相切，且与椭圆E交于A、B两点．
（1）当 $数学公式$ 时，求椭圆E的方程；
（2）若直线AB的倾斜角为锐角，当c变化时，求证：AB的中点在一定直线上．

（1）解：由椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，可设椭圆E： $\text{[math]}$
根据已知设切线AB为：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
圆（x+c）²+（y+2）²=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离为d= $\text{[math]}$ =1
∴k= $\text{[math]}$
∴切线AB为：y= $\text{[math]}$ （x+c），与椭圆方程联立，消元可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=- $\text{[math]}$ ，
∴|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴c=1，
∴椭圆E的方程为： $\text{[math]}$ ．（9分）
（2）证明：由（1）及已知得，AB的中点（- $\text{[math]}$ ），
故弦AB的中点在定直线 $\text{[math]}$ （x＜0）上．（13分）
分析：（1）根据椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，可设椭圆E： $\text{[math]}$ ，设切线AB为：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，利用圆（x+c）²+（y+2）²=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离为d= $\text{[math]}$ =1，求得斜率，再将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用弦长即可求得椭圆E的方程；
（2）由（1）及已知得AB的中点（- $\text{[math]}$ ），从而可得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程是关键．