Question

（本小题满分14分）

如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（本小题满分14分）

解法一：

（Ⅰ）证明：∵，分别是线段，的中点，

∴//．                                  ………………………2分

又∵平面，平面，

∴//平面．                        ……………………………4分

       （Ⅱ）解：为的中点，且，

       ，

       又底面，底面 ，

       ．                    

       又四边形为正方形，

．       

又 ，  

平面．                ……………………………………7分

又平面 ，             

 ．                     ……………………………………8分

又 ，

平面．                ……………………………………9分

（Ⅲ）平面，平面，

平面平面，

平面，平面平面，，

平面，

，分别是线段，的中点，

//，

平面．

平面，平面，

，，                   ……………………10分

就是二面角的平面角．       ……………………12分

在中，

，

所以二面角的大小为．    　                 ………14分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，

,

，，，．

                              ………………2分

（Ⅰ）证明：∵，，

∴,

∵平面，且平面，             ……………………4分

∴ //平面．                                  ……………………5分

（Ⅱ）解：，， ，  ……………………6分

              ……………………8分

，

又，

平面．                             ………………………9分

（Ⅲ）设平面的法向量为,

因为，，

则取          ………………………………12分

又因为平面的法向量为

所以      …………………13分

所以二面角的大小为．                  …………………14分