Question

已知函数f（x）=2-

1

x

（x＞0），若存在实数m、n（m＜n）使f（x）在区间（m，n）上的值域为（tm，tn），则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：结合函数的单调性，得出m，n是方程2-

1

x

=tx①的2个根，由题意得不等式组，解出即可．

解答： 解：画出函数f（x）的草图，如图示：
，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴2-

1

m

=tm，2-

1

n

=tn，
∴m，n是方程2-

1

x

=tx①的2个根，（0＜m＜n）
整理①得：tx²-2x+1=0，
∴

△=4-4t＞0 tn-tm＞0

，解得：0＜t＜1，
故答案为：（0，1）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的定义域，值域问题，是一道中档题．