Question

设f(x)=3ax²+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)＞0,f(1)＞0,求证：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.

Answer 1

证明：(Ⅰ)因为f(0)＞0,f(1)＞0,所以c＞0,3a+2b+c＞0,由条件a+b+c=0,消去b得a＞c＞0,由条件a+b+c=0,消去c得，a+b＜0,2a+b＞0.故-2＜＜-1.

(Ⅱ)抛物线f(x)=3ax²+2bx+c的顶点坐标为(-，).

    在-2＜＜-1的两边乘以-，得＜-＜.

    又因为f(0)＞0,f(1)＞0,而f(-)=-＜0.

    所以方程f(x)=0在(0,-)与(-,1)内分别有一实根.

    故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.