Question

9．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（2m-3）x+lnx（m∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若对任意的x∈（1，2），总有f（x）＜-2，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；（2）结合（1），求出f（x）在（1，2）上的最大值，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（2m-3）x+lnx，（x＞0），
f′（x）=x+（2m-3）+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+（2m-3）x+1}{x}$，
令g（x）=x²+（2m-3）x+1，
△=4m²-12m+5≤0即$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{5}{2}$时，
f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
△＞0时，解得：m＞$\frac{5}{2}$或m＜$\frac{1}{2}$，
m＞$\frac{5}{2}$时，x₁=3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＜x₂=3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
m＜$\frac{1}{2}$时，0＜x₁=3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＜x₂=3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$，
∴f（x）在（0，3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$）递增，在（3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$，3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$）递减，
在（3-2m+$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$，+∞）递增；
（2）由（1）得：m≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）递增，
故f（x）在（1，2）递增，只需f（2）=2+2（2m-3）+ln2＜-2即可，解得：m＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2＜$\frac{1}{2}$，不合题意，舍，
m＜$\frac{1}{2}$时，x₁3-2m-$\sqrt{{4m}^{2}-12m+5}$＞2，
∴f（x）在（1，2）递增，只需f（2）=2+2（2m-3）+ln2＜-2即可，解得：m＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2＜$\frac{1}{2}$，符合题意，
故m＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．