Question

函数f（x）=

1

3

x³+ax²-bx的递减区间是[-1，2]，则a+b的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出f′（x），因为函数在区间[-1，2]上是减函数得到f（-1）和f（2）都小于0分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可解出a的取值范围得到a的最小值，把a的最小值当然即可求出b的最小值，求出a+b的值即可

解答： 解：f′（x）=x²+2ax-b，
因为函数f（x）在区间[-1，2]上是减函数，即在区间[-1，2]上，f′（x）≤0，
得到f′（-1）≤0，且f′（2）≤0，代入得1-2a-b≤0①，且4+4a-b≤0②，
由①得2a+b≥1③，由②得b-4a≥4④，
设u=2a+b≥1，v=b-4a≥4，
假设a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（-4a+b），
=（2m-4n）a+（m+n）b，
对照系数得：2m-4n=1，m+n=1，解得：m=

5

6

，n=

1

6

，
∴a+b=

5

6

u+

1

6

v≥

3

2

，
则a+b的最小值是

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用不等式的范围求未知数的最值，是一道综合题．