Question

（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小

题满分7分）

（1）若对于任意的，总有成立，求常数的值；

（2）在数列中，，（，），求证 是等比数列，并求通项；

（3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中.试问是否存在正整数，使？若存在，求出的值；不存在，说明理由.

Answer 1

（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小

题满分7分）

（1）若对于任意的，总有成立，求常数的值；

（2）在数列中，，（，），求证 是等比数列，并求通项；

（3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中.试问是否存在正整数，使？若存在，求出的值；不存在，说明理由.

解：（1）由题设得即恒成立，

所以，.…………………………………………4分

（2）证明：由题设（）.又得，

，且，

即是首项为1，公比为2的等比数列，……………………………8分

所以即为所求.……………………………9分

（3）假设存在正整数满足题设，

由（2）知，显然，

又,得，.

即是以为首项，为公比的等比数列.………………………………12分

于是

，即.…………………………14分

综上，存在正整数满足题设，.…………………………………………16分