Question

（2011•深圳二模）设函数f(x)=sinωx+sin(ωx-

π

2

)，x∈R．
（1）若ω=

1

2

，求f（x）的最大值及相应的x的集合；
（2）若x=

π

8

是f（x）的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析：（1）将f（x）的解析式第二项利用诱导公式化简，把ω的值代入，并利用两角和与差的正弦函数公式及 特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域求出f（x）的最大值，以及此时x的集合；
（2）由第一问确定的f（x）的解析式以及且x=

π

8

是f（x）的一个零点，将x=

π

8

代入f（x）解析式中化简，得到f（

π

8

）=0，可得出

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k为整数，整理得到ω=8k+2，由ω的范围列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，由k为整数得到k=0，可得出ω=2，确定出函数f（x）解析式，即可求出函数的最小正周期．

解答：解：（1）f（x）=sinωx+sin（ωx-

π

2

）=sinωx-cosωx，…（1分）
当ω=

1

2

时，f（x）=sin

x

2

-cos

x

2

=

2

sin（

x

2

-

π

4

），…（2分）
又-1≤sin（

x

2

-

π

4

）≤1，∴f（x）的最大值为

2

，…（4分）
令

x

2

-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=4kπ+

3π

2

，k∈Z，
则相应的x的集合为{x|x=4kπ+

3π

2

，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（x）=

2

sin（ωx-

π

4

），且x=

π

8

是f（x）的一个零点，
∴f（

π

8

）=sin（

ωπ

8

-

π

4

）=0，…（8分）
∴

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k∈Z，整理得：ω=8k+2，
又0＜ω＜10，∴0＜8k+2＜10，
解得：-

1

4

＜k＜1，
又k∈Z，∴k=0，ω=2，…（10分）
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
则f（x）的最小正周期为π．…（12分）

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，正弦函数的图象与性质，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．