Question

【题目】已知椭圆： （）过点，且离心率为，过点的直线与椭圆交于， 两点.

（Ⅰ）求椭圆的的标准方程；

（Ⅱ）已知为坐标原点，且，求面积的最大值以及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）面积的最大值为3，此时直线的方程为.

【解析】试题分析：（1）由离心率为可得，由点在椭圆上可得，联立方程组解得， ， ，（2）因为，所以为的中点，因此面积，联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式可得 .最后设整体换元转化为，利用函数单调性求最值.

试题解析：（Ⅰ）依题意， ， ， ，

解得， ， ，

故椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）因为，所以为的中点，所以.

由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，所以， .

又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即， .

则 .

令，则， ，令，则函数在上单调递增，故当时， 在上单调递增，因此有，所以，故面积的最大值为3，此时直线的方程为.