Question

计算：（1）若数列an=

1

n(n-1)

，求

lim

n→∞

(a2+a3+a4+…+an)；
（2）若函数f(x)=

x -1 x•(x-1) (x＞1) a+2x(x≤1)

在R上是连续函数，求a的取值．

Answer 1

分析：（1）由an=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，知a₂+a₃+a₄+…+a_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

．由此能求出

lim

n→∞

(a2+a3+a4+…+an)．
（2）由函数f(x)=

x -1 x•(x-1) (x＞1) a+2x(x≤1)

，知

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

 (a+2x)=a+2，

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

x -1

x(x-1)

=

1

2

．由f（x）在R上是连续函数，能求出a．

解答：解：（1）∵an=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
a₂+a₃+a₄+…+a_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=1-

1

n

．
∴

lim

n→∞

(a2+a3+a4+…+an)
=

lim

n→∞

(1-

1

n

)
=1．
（2）∵函数f(x)=

x -1 x•(x-1) (x＞1) a+2x(x≤1)

，
∴

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

 (a+2x)=a+2，

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

x -1

x(x-1)

=

lim

x→1+

x -1

x( x -1)( x +1)

=

lim

x→1+

1

x( x +1)

=

1

2

．
∵f（x）在R上是连续函数，
∴a+2=

1

2

，
∴a=-

3

2

．

点评：（1）题考查数列的极限，解题时要注意裂项求和法的灵活运用；（2）题考查函数的连续性，解题时要认真审题，仔细解答．