Question

【题目】对于直线与抛物线，若与有且只有一个公共点且与的对称轴不平行（或重合），则称与相切，直线叫做抛物线的切线．

（1）已知是抛物线上一点，求证：过点的的切线的斜率；

（2）已知为轴下方一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．求证：成等差数列；

（3）如图所示，、是抛物线上异于坐标原点的两个不同的点，过点的的切线分别是，直线交于点，且与轴分别交于点．设为方程的两个实根，表示实数中较大的值．求证：“点在线段上”的充要条件是“”．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；

【解析】

（1）将抛物线方程变为，利用导数的几何意义证得结论；

（2）利用点斜式写出直线，联立可求得交点横坐标为，即，证得结论；

（3）首先联立方程，可求得点坐标，进而得到的值；

①当在上时，由可求得，进而必要性可证得；

②当，可得，进而，充分性可证得；

由此可总结出结论.

（1）将抛物线方程变为：

当时，，即切线的斜率

（2）由（1）知，直线；直线

由得：

又，

为直线交点

成等差数列

（3）在抛物线上

由（1）知：

同理可得：

联立，解得：，，即

方程两根为，

必要性：当点在线段上时，

即

充分性：当时，

，即

在线段上

综上所述：“点在线段上”的充要条件是“”