题目内容
【题目】已知椭圆
的右焦点为F，过点
的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为
，当l的斜率不存在时，
.
（1）求椭圆E的方程.
（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
.（2）以AB为直径的圆恒过定点
.
【解析】
（1）根据直线的斜率公式求得
的值，由
，即可求得
的值，求得椭圆方程；
（2）当直线的斜率存在，设直线
的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以直径的圆的方程，令
，即可求得
，即可判断以为直径的圆过定点
．
（1）设椭圆半焦距为c，由题意
，所以
.
l的斜率不存在时，
，所以
，
.
所以椭圆E的方程为.
（2）以AB为直径的圆过定点
.
理由如下：
当直线
的斜率存在时，设的方程
，
，
，
，
，
联立方程组
，消去
，
整理得
，
所以
，
，
所以
，
，
以为直径的圆的方程：
，
即
，
令，则
，
解得或
，
所以为直径的圆过定点．
当直线l的斜率不存在时，
，
，
此时以AB为直径的圆的方程为
.
显然过点．
综上可知，以为直径的圆过定点．
练习册系列答案
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【题目】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占
.
一次购物量 | 1至3件 | 4至7件 | 8至11件 | 12至15件 | 16件及以上 |
顾客数（人） |
| 27 | 20 |
| 10 |
结算时间（ | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
（1）确定
，
的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）从收集的结算时间不超过
的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为
的概率.（注：将频率视为概率）
