Question

如图，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=AE．
（I）设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k（k＞0），若，求k的取值范围；
（Ⅱ）在（I）和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系（如图），表示出点的坐标，确定平面ABE的一个法向量，利用CE与平面ABE所成的角，且，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k最大值为，则当时，求出平面BDE法向量，平面ABC法向量为=（0，0，1），利用夹角公式，即可求得平面BDE与平面ABC所成角大小．
解答：解：（Ⅰ）如图以C为坐标原点，CA、CD为y、z轴，垂直于CA、CD的直线CT为x轴，建立空间直角坐标系（如图），则设A（0，1，0），，E（0，1，k），．
取AB的中点M，则，则平面ABE的一个法向量为，
由题意．
由，则，
得．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k最大值为，则当时，设平面BDE法向量为=（x，y，z），则
取，又平面ABC法向量为=（0，0，1），…10分
所以cos＜，＞=，
所以平面BDE与平面ABC所成角大小．…12分．
点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是建立空间直角坐标系，正确运用向量的数量积公式，属于中档题．