Question

【题目】已知数列的前项和为，且 ，在数列中，，点在直线上．

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n，bn＝2n－1；（2）Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.

【解析】

(1)利用项和公式求数列的通项，再利用等差数列的通项求数列的通项公式.(2)利用错位相减法求.

(1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，

两式相减得an＝2an－2an－1，即 ＝2(n≥2)，

又a1＝2a1－2，∴a1＝2，

∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.

∵点P(bn，bn＋1)在直线 x－y＋2＝0上，∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，

∴{bn}是以2为公差的等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.

(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n ①

∴2Tn＝ 1×22＋3×23＋5×24＋… ＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1 ②

①－②得：

－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1

＝2＋2·－(2n－1)2n＋1＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6

∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.