Question

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=

x

ex

-

2

e

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

（I）∵f（x）=xlnx，∴f^′（x）=lnx+1（x＞0），
当x∈(0，

1

e

)时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此，当x=

1

e

时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（II）证明：由（I）可知：f(m)≥-

1

e

．
由g（x）=

x

ex

-

2

e

，得g′(x)=

1-x

ex

．
当x∈（0，1）时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴函数g（x）在x=1时取得极大值即最大值，g(1)=

1

e

-

2

e

=-

1

e

．
∴对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．