Question

已知函数f（x）=x²-ax+2lnx（其中a是实数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2(

e

+

1

e

)＜a＜5，且f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求|f（x₁）-f（x₂）|的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x²-ax+2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x-a+

2

x

=（2x+

2

x

）-a≥4-a；
∴①当4-a≥0，即a≤4时，f'（x）≥0，f（x）是增函数，增区间为（0，+∞）；
②当a＞4时，f′(x)=

2x2-ax+2

x

，
∵△=a2-16＞0，x1+x2=

a

2

＞0，x1x2=1＞0，∴0＜x₁＜x₂；
∴f（x）的增区间为(0，

a- a2-16

4

)，(

a+ a2-16

4

，+∞)，减区间为(

a- a2-16

4

，

a+ a2-16

4

)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（x₁，x₂）内递减，∴f（x₁）＞f（x₂）；
∵x2=

1

x1

＞x1，∴0＜x₁＜1；
∵2(

e

+

1

e

)＜a=2(x1+x2)=2(x1+

1

x1

)＜5=2(2+

1

2

)，
而y=2(x1+

1

x1

)在（0，1）上递减，
∴

1

2

＜x1＜

1

e

；
∴|f(x1)-f(x2)|=-

a

2

(x1-x2)+2ln

x1

x2

=

1

x 21

-

x

21

+4lnx1；
令g(x1)=

1

x 21

-

x

21

+4lnx1(

1

2

＜x1＜

1

e

)，
∴g′(x1)=-

2( x 21 -1)2

x 31

＜0，∴g（x₁）在(

1

2

，

1

e

)上递减；
∴|f(x1)-f(x2)|∈(e-

1

e

-2，

15

4

-4ln2)．