题目内容
为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为4
米，∠GEM=∠HFN=
，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，
]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．
（1）试用α表示GH的长；
（2）求W关于α的函数关系式；
（3）求W的最小值及相应的角α．
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
（1）试用α表示GH的长；
（2）求W关于α的函数关系式；
（3）求W的最小值及相应的角α．
（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，GH=MN=
…（6分）
（2）W=(80+16
-60tanα)×1+
×2=80+16
-60
+120
=80+16
-60
．…（11分）
（3）设f(α)=
（其中0≤α≤
)，
则f′(α)=
=
．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即sinα=
，得α=
．
列表
所以当α=
时有f(α)max=-
，此时有Wmin=80+16
+60
=80+76
．
答：排管的最小费用为80+76
万元，相应的角α=
．…（16分）
| 60 |
| cosα |
（2）W=(80+16
| 3 |
| 60 |
| cosα |
| 3 |
| sinα |
| cosα |
| 1 |
| cosα |
=80+16
| 3 |
| sinα-2 |
| cosα |
（3）设f(α)=
| sinα-2 |
| cosα |
| π |
| 4 |
则f′(α)=
| cosαcosα-(-sinα)(sinα-2) |
| cos2α |
| 1-2sinα |
| cos2α |
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即sinα=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
列表
| α | (0，
|
| (
| ||||||||
| f'（α） | + | 0 | - | ||||||||
| f（α） | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
答：排管的最小费用为80+76
| 3 |
| π |
| 6 |
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