Question

如下图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.

（1）将十字形的面积表示为θ的函数；

（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

解:（1）设S为十字形的面积，则S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos²θ(＜θ＜).

（2）解法1：S=2sinθcosθ-cos²θ=sin2θ-cos2θ-=sin(2θ-φ)- ,

其中φ=arccos.当sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=时，S最大.所以，当θ=+arccos时，S最大.S的最大值为

解法2： 因为S=2sinθcosθ-cos²θ,所以S′=2cos²θ-2sin²θ+2sinθcosθ=2cos2θ+sin2θ.

令S′=0，即2cos2θ+sin2θ=0,

可解得θ=+arctan(-2)，

所以，当θ=+arctan(-2)时，S最大，S的最大值为.