题目内容
有一幅椭圆型彗星轨道图,长4 cm,高2
cm,如下图,已知O为椭圆中心,A1,A2是长轴两端点,太阳位于椭圆的左焦点F处.
(1)建立适当的坐标系,写出椭圆方程,并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离;
(2)直线l垂直于A1A2的延长线于D点,|OD|=4,设P是l上异于D点的任意一点,直线A1P、A2P分别交椭圆于M、N(不同于A1,A2)两点,问点A2能否在以MN为直径的圆上？试说明理由.
解:(1)建立如图所示的坐标系,设椭圆方程为+
=1(a＞b＞0),依题意,2a=4,2b=2
,∴a=2,b=
.∴c=1.
椭圆方程为
=1,
F(-1,0),将x=-1代入椭圆方程得y=±
,∴当彗星位于太阳正上方时,二者在图中的距离为1.5 cm.
(2)由(1)知,A1(-2,0),A2(2,0),设M(x0,y0),∵M在椭圆上,∴y02=
(4-x02),
又点M异于顶点A1,A2,∴-2＜x0＜2.
由P、M、A1三点共线可得P(4,
),
∴
=(x0-2,y0),
=(2,
).
∴
·
=2(x0-2)+
=
(2-x0).
∴2-x0＞0.∴
·
＞0.∠MA2P为锐角.
∵P、A2、N三点共线,∴直线A2M与NA2不垂直.
∴点A2不在以MN为直径的圆上.
练习册系列答案
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，如下图，已知O为椭圆中心，A1，A2是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处．
(本小题满分12分)
有一幅椭圆型彗星轨道图，长4cm，高
，如下图，
已知O为椭圆中心，A1，A2是长轴两端点，
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（Ⅰ）建立适当的坐标系，写出椭圆方程，
并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离；
（Ⅱ）直线l垂直于A1A2的延长线于D点，|OD|=4，
设P是l上异于D点的任意一点，直线A1P，A2P分别
交椭圆于M、N（不同于A1，A2）两点，问点A2能否
在以MN为直径的圆上？试说明理由.